Bài này thì chắc cô si ngược dấu thôi:v

\(LHS=\Sigma\frac{x}{1+y^2}=\Sigma x.\left(1-\frac{y^2}{1+y^2}\right)\)

\(\ge\Sigma x\left(1-\frac{y}{2}\right)=x+y+z-\frac{xy+yz+zx}{2}\)

\(\ge x+y+z-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{6}=\frac{3}{2}\)

P/s: check xem có ngược dấu chỗ nào ko:v

\(M^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2xy}{\sqrt{yz}}+\frac{2yz}{\sqrt{zx}}+\frac{2xz}{\sqrt{yz}}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)

Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2}{y}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.z}=4x\)

tương tự \(\frac{y^2}{z}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+x\ge4y\);\(\frac{z^2}{x}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+y\ge4z\)

=>\(M^2+x+y+z\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow M^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge3.12=36\Rightarrow M\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4

Vậy minM=6 khi x=y=z=4

b1: Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta được:

\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+y+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

=>minP=1 <=> x=y=z=2/3

Ta có nhận xét sau:

     \(\dfrac{x+2}{x^3\left(y+z\right)}=\dfrac{1}{x^2\left(y+z\right)}+\dfrac{2}{x^3\left(y+z\right)}=\dfrac{yz}{zx+xy}+\dfrac{2\left(yz\right)^2}{zx+xy}\)

Tương tự với các phân thức còn lại

Ta đặt:

     \(\left\{{}\begin{matrix}a=xy\\b=yz\\c=zx\end{matrix}\right.\)

     \(\Rightarrow abc=1\) và \(a,b,c>0\)

Biểu thức P trở thành:

     \(P=\Sigma_{cyc}\dfrac{a}{b+c}+2\Sigma_{cyc}\dfrac{a^2}{b+c}\)

Dễ thấy:

     \(\Sigma_{cyc}\dfrac{a}{b+c}\ge\dfrac{3}{2}\) (Nesbit)

     \(\Sigma_{cyc}\dfrac{a^2}{b+c}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Do đó:

     \(P\ge\dfrac{3}{2}+2.\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x$

$\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\geq y$

$\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\geq z$

Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn ta được:

$P\geq \frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1$ 

Vậy $P_{\min}=1$ khi $x=y=z=\frac{2}{3}$

Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:

\(A=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)

\(MinA=1\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

\(P=\sum\dfrac{1}{x+y+1}\ge\dfrac{9}{2\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{2.1+3}=\dfrac{9}{5}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Thấy cái đề mà thấy khiếp ...

Ta có : \(x^2-xy+y^2=\frac{3}{4}\left(x^2-2xy+y^2\right)+\frac{1}{4}\left(x^2+2xy+y^2\right)\)

                                       \(=\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2-xy+y^2}\ge\frac{x+y}{2}\)

Tương tự \(\sqrt{y^2-yz+z^2}\ge\frac{y+z}{2}\)

                \(\sqrt{z^2-zx+x^2}\ge\frac{x+z}{2}\)

Do đó : \(2S\ge\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{y+z+2x}+\frac{x+z}{x+z+2y}\)

\(\Rightarrow2S+3\ge\left(1+\frac{x+y}{x+y+2z}\right)+\left(1+\frac{y+z}{y+z+2x}\right)+\left(1+\frac{x+z}{x+z+2y}\right)\)

                       \(=2\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x+y+2z}+\frac{1}{y+z+2x}+\frac{1}{x+z+2y}\right)\)

                                                         \(\ge2\left(x+y+z\right).\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)\(=\frac{9}{2}\)

                                                          (Áp dụng bđt Cô-si dạng engel cho 3 số)

\(\Rightarrow2S+3\ge\frac{9}{2}\)

\(\Rightarrow S\ge\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Vậy ..............

\(P\ge\frac{x+y+z}{2}=\frac{\sqrt{\left(x+y+z\right)^2}}{2}\ge\frac{\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)